CH01_01 .대수학적 특징과 항등원, 역원

Basic Algebraic ( 기초 대수학 )

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1 -1. Algebraic Properties

 

Commutative Property

 

 

Commutative Property를 만족하는 대표적인 연산은 덧셈, 곱샘이 있다.

 

$$10 + 3 = 3 + 10$$

$$10 * 3 = 3 * 10$$

 

 

뺄샘, 나눗셈 같은 경우 Commutative Property가 만족하지 않는 연산이다.

또한 백터의 내적 같은 경우에도 Commutative Property를 만족한다.

 

$$ \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)= a*c + b*d\\\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)= c*a + d*b\\\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right) $$

 

 

Associative Property

 

 

a, b를 먼저 연산을 하고, 이후 c를 연산하는 것과

b, c를 먼저 연산을 하고, 이후 a를 연산하는 것이 같으면, Associative Property를 만족한다라고 할 수 있다.

덧셈 같은 경우 Associative Property 를 만족한다 

하지만 뺄샘같은 경우 Associative Property를 만족하지 못한다.

 

$$(10 + 3) + 2 = 10 + (3 + 2)$$

$$(10 - 3) - 2 = 10 - (3 - 2)$$

 

 

Distributive Property(분배 법칙)

 

 

a가 왼쪽에 있으면 Left-handed Distributive law

a가 오른쪽에 있으면 Right-handed Distributive law

곱하기, 덧셈은 Distributive Property 만족

 

$$10*(2+3)=50\\(10*2)+(10*3)=50$$

 

덧셈, 곱하기 연산은 Distributive Property 불만족

 

$$10+(2*3)=16\\(10+2)*(10+3)=156$$

 

 

Identities and Inverses

 

Identities(항등원): 어떤 값(a)과 연산이 있을 때, 이 값에 연산을 진행한 결과가 원래의 값과 동일하게 만드는 값.

$$a*1=a$$

$$a+0=a$$

1은 곱셉에 대한 Identities.

0은 덧셈에 대한 Identities.

 

 

 

 

Inverses(역원): 어떤 값(a)과 연산(이 있을 때, 이 값에 연산을 진행한 결과 identity가 되게 만드는 값

0은 덧셈에 대한 Identities. 이를 가지고 Inverses(역원)을 만들어보자

$$a+0=a\\e=0\\a+x=e\\a+x=0\\x=-a$$

따라서 -a는 +에 대한 inverse값이다.

1은 곱셉에 대한 Identities. 이를 가지고 Inverses를 계산해보자.

$$a*1=a\\e=1\\a*x=e\\a*x=1\\x=1/a$$

따라서 1/a는 *에 대한 inverse값이다.

 

 

여기서 행렬에 대한 Identities와 Inverses값을 구해보자.

 

$$A*I=A$$ 를 만족하는 I가 행렬의 곱셈에 대한 항등원이다.

$$A*X=I$$ 를 만족하는 X가 행렬의 곱셈에 대한 역원이다.